Nghịch lý Banach-Tarski: Khi một quả cầu có thể nhân đôi chính nó?

Nghe khó tin nhỉ, nhưng đây lại là một nghịch lý toán học có thật.

Năm 1924, hai nhà toán học 𝐒𝐭𝐞𝐟𝐚𝐧 𝐁𝐚𝐧𝐚𝐜𝐡 và 𝐀𝐥𝐟𝐫𝐞𝐝 𝐓𝐚𝐫𝐬𝐤𝐢 đã chứng minh một điều tưởng như bất khả thi. Hãy tưởng tượng nhé: một quả bóng, bị tách ra thành vài phần hữu hạn (thực ra chỉ cần 5 thôi), rồi sắp lại và … BOOM! Ta nhận được hai quả bóng giống hệt ban đầu 🤯

Từ góc nhìn đời thường, điều đó chẳng khác gì phép màu. Nhưng trong thế giới toán học, quả bóng không còn là vật thể hữu hình nữa, mà được xem như tập hợp vô số điểm nhỏ li ti trong không gian. Nếu ta tách nó thành những phần đặc biệt – những phần mà ta không thể gán thể tích cho chúng (𝐧𝐨𝐧-𝐦𝐞𝐚𝐬𝐮𝐫𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐬𝐞𝐭𝐬), rồi xoay và tịnh tiến theo cách cực kỳ tinh vi, thì có thể tạo ra hai tập hợp khác. Giờ đây, mỗi tập hợp này là một bản sao hoàn hảo của quả bóng ban đầu.

Nghe như phép nhân bản ha, nhưng đây là điều toán học chứng minh được thật đấy! Điều kỳ diệu ấy dựa trên “Tiên đề Chọn” (𝐀𝐱𝐢𝐨𝐦 𝐨𝐟 𝐂𝐡𝐨𝐢𝐜𝐞), một nguyên lý cho phép ta “chọn” một điểm từ mỗi tập con, kể cả khi có vô hạn tập con như vậy, mà không cần bất kì quy tắc cụ thể nào. Chỉ là trong đời thật không làm được đâu, vì bóng thật làm bằng nguyên tử, mà nguyên tử thì không thể chia nhỏ vô hạn được.

Nhưng chính nghịch lý Banach Tarski đã khiến cả giới toán học phải đứng hình với một câu hỏi đau não: “Nếu toán học có thể chứng minh được cả những điều tưởng chừng như không thể, thì liệu thế giới thật có thật sự vận hành theo toán học không nhỉ?”